domingo, 2 de diciembre de 2012


  1. Ecuaciones:
Una ecuación es una igualdad []entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:


 

3X – 5 = 7 + X
1º miembro 2ºmiembro
La variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 5 y 7 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.


 
  1. ideas básicas


 

  • Igualdades y ecuaciones.


 

Utilizamos ecuaciones cuando tratamos de averiguar una cierta cantidad, desconocida, pero de la que sabemos que cumple cierta condición.


 

La cantidad desconocida se llama incógnita y se representa por "x" (o cualquier otra letra) y la condición que cumple se escribe como una igualdad algebraica a la que llamamos ecuación.


 

Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la o las incógnitas con los que se cumple la igualdad.
Ejemplo
Situaciones que se expresan con ecuaciones
Una madre reparte 57$ entre tres hijos de forma que el mayor reciba 10 $ más que el segundo,y éste 10$ más que el tercero.¿Cuánto recibe cada uno?
Llamamos "X" al dinero que recibe el hijo pequeño, el que recibe menos.
Luego el mediano recibe "X+ 10", y el mayor "x +1 0+10"
Como en total se reparten 57$, esa será la suma de "X" y "X +10" y "X+10+10"
Escribimos la ecuación.
X+(X+10) + (X+10+10)=57
O,agrupando:3X + 30 =57
Aún no hemos resuelto el problema, nuestro primer paso es plantear y escribirlo en forma de ecuación.


Ejemplo

Se reparten 40 $ para dos personas , de manera que uno recibe 10 $ más que el otro.
¿Cuánto recibe cada uno?
Llamamos "X" al dinero que recibe la 1º persona; la que recibe menos; ¿Cuánto recibe entonces la 2º persona?
La segunda persona recibirá "x+10".
Entre las dos se reparten en total 40$, entonces la suma de "x" y "x+10" debe ser 40.
Escribimos la ecuación:
X + (x + 10) =40
O agrupando:
2x + 10 = 40

  • Elementos de una ecuación:

Miembros: Son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad. El de la izquierda se llama 1º miembro. El de la derecha se llama 2º miembro.
Términos son los sumandos que forman los miembros.
Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.
Soluciones: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
Grado de una ecuación: Es el mayor de los grados de los monomios que forman los miembros

Ejemplo 1:
3X – 5 = 7 -2X
1º miembro 2ºmiembro
Incógnita: X
Solución: X=
Grado: 1
Los términos son: 3x, -5, 7, -2x


Ejemplo 2

1º miembro 2ºmiembro
Incógnita:X
Soluciones: X=3 , X= -3
Grado :2
Los términos son: 3x2, 48


 

En el segundo ejemplo, observa que si x toma otro valor (por ej: 6, - 12, 5/2,...) la igualdad no se cumple y por tanto no son soluciones.

Ecuaciones equivalentes:


Se llaman ecuaciones equivalentes a las que tienen las mismas soluciones.

  • Si se suma o resta una cantidad, o expresión, a los dos miembros de una ecuación se obtiene otra equivalente. Regla práctica: "lo que está sumando pasa restando, o viceversa".
  • Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un número, o expresión, Se obtiene otra equivalente.

Regla práctica: "lo que está multiplicando pasa dividiendo, o viceversa"


Ejemplo 1:

Una madre reparte 57$ entre tres hijos de forma que el mayor reciba 10 $ más que el segundo,y éste 10$ más que el tercero.¿Cuánto recibe cada uno?
Pequeño: X Mediano: X +10 Mayor :X+10+10
Ecuación: X+(X+10) + (X+10+10)=57
3X + 30 = 57
(Haciendo: 3X + 10 -10 = 40 -10)
3X = 57 -30
3X =27
X=9
Pequeño: 9 $ Mediano:19$ Mayor:29$

Ejemplo 2:
Se reparte 40 $ para dos personas ,de manera que uno reciba 10$ más que el otro .¿Cuánto recibe cada uno?.
1ºpersona recibe: X 2ªpersona recibe:X+10
Ecuación: X + (X + 10) = 40
2X + 10 =40
(Haciendo : 2X + 10 – 10 =40 – 10
2x = 40 – 10
2X=30
(Haciendo: )
X= 15
1ºpersona: 15 $ 2ºpersona:25$

Ejercicios resueltos


 
Resolver las siguientes ecuaciones:


 
  1. Si al triple de un número le restamos 16 se obtiene 20. ¿Cuál es el número?

     
SOLUCIÓN
Al número que buscamos lo llamamos:     x


Podemos plantear la siguiente ecuación:    3x - 16 = 20

Agrupamos    3x = 20 +16    ,     3x = 36
Solucionamos    x = 36/3    ,     x = 12
El número buscado es 12. 
2. Pedro, que actualmente tiene 42 años, tiene 8 años más que el doble de la edad de Antonio. ¿Qué edad tiene Antonio?

SOLUCIÓN 
A la edad de Antonio la llamamos:     x
Podemos plantear la siguiente ecuación:    2x + 8 = 42
Agrupamos    2x = 42 - 8    ,     2x = 34
Solucionamos    x = 34/2    ,     x = 17
La edad de Antonio es 17.


3.
Al sumarle a un número 34 unidades se obtiene el mismo resultado que al multiplicarlo por 3. ¿Cuál es ese número?




 

SOLUCIÓN


Al número que buscamos lo llamamos:    x

Podemos plantear la siguiente ecuación: x + 34 = 3x
Agrupamos    x - 3x = - 34    ,     -2x = -34
Solucionamos    x = -34/- 2    ,     x = 17
El número buscado es 17.


 



 

4. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al menor más 19. ¿Cuáles son estos tres números?


 

SOLUCIÓN


 

Los números que buscamos los llamamos: x, x+1, x+2
Podemos plantear la siguiente ecuación: (x) + (x+1)+ (x+2) = x +19
Agrupamos x + x +1 + x + 2 = x + 19
x + x + x - x = 19-1-2
Solucionamos 2x = 16
x = 16/2 , x = 8
Los números buscados son 8, 9 y 10.




5. En un trabajo, Miguel ha ganado el doble de dinero que Ana, y Abel el triple de Miguel. Si en total han obtenido 144 $, ¿cuánto ha ganado cada uno?


 

SOLUCIÓN

Escribimos los nombres con sus incógnitas: Ana: x, Miguel: 2x,
     Abel: 3•2x=6x
Podemos plantear la siguiente ecuación:     x+2x +6x = 144
Agrupamos     9x = 144
Solucionamos     x = 144/9, x = 16
Ana ganó 16$ , Miguel 32$ y Abel 96$.


6. Tres hermanos se reparten 89$ . El mayor debe recibir el doble que el mediano y éste 7$ más que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?

SOLUCIÓN

Escribimos los hermanos con sus incógnitas: Pequeño: x, Mediano: x+7,
     Mayor: 2(x+7)
Podemos plantear la siguiente ecuación:     (x)+(x+7)+(2(x+7))= 89
Agrupamos     x+x+7+2x+14=89
4x=89-7-14    ,    4x=68
Solucionamos     x = 68/4    ,    x = 17
El pequeño recibió 17$, mediano 24$ y mayor 48$ .

2. Reglas para resolver una ecuación


 

Ecuación sin denominadores.
Para este tipo de ecuaciones seguimos los siguientes pasos:
1º Agrupar los monomios que lleven la incógnita ("las x") en un miembro de la ecuación y los términos independientes en el otro miembro.
2º Despejar la incógnita: Dejar la incógnita sola en un miembro de la ecuación.

Ejemplos:
Sin paréntesis
3X – 2= -7X + 9 0 = 8X – 6 + 4X – 3
3x + 7X = 9 + 2 6 + 3 = 8X +4 X
10X =11 9=12X

Con paréntesis
(-3)(7-6X)=9X -8(3X-7) x+5(6-8X) -4=4+5X -2
-21 + 18X =9X-24X+56 X+30 -40X -4=4 + 5X -2
18X-9X +24X=56 +21 x-40X -5 X =4-2-30+4
33X =77 (-44)X = -24

cuacion con denominadores


 

En el    caso    de haber denominadores hay que tratarlos antes, hacemos:
1º Se calcula el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación.
2º Se reduce a común denominador: cada término se transforma en una fracción equivalente cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.
3º Se eliminan    los denominadores (Explicación: al multiplicar ambos miembros por el denominador común se obtiene una    ecuación equivalente).
4º Se resuelve la ecuación, ya sin denominadores.


 

Ejemplo:
Con denominadores y sin paréntesis

-42 + 1x =21X -10
-21X +1X =42 – 10
-20X = 32
X=32/20

Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: ax=b, siendo a y b números reales y a#0.

El mayor exponente de las x debe ser 1.Si a#0 siempre tiene solución y además es única, la Solución es: x=-b/a.

2x + 9 =15. Ecuación de grado 1, se puede escribir como 2x =6
La solución es:

Método de resolución
  • Para resolver una ecuación de primer grado se siguen estos paso.
  • Se eliminan los denominadores. Para ello se calcula el mcm de los denominadores y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él.
  • Se quitan los paréntesis.
  • Agrupar los términos en x a la izquierda del igual y los números a la derecha.
  • Reducir términos semejantes.


     

    • Quitar denominadores
    • =2(5)
    • 3x + 4(x – 1) =10
    • Quitar paréntesis:
    • 3x + 4x – 4 =10
    • Agrupar: 3x + 4x =10 + 4
    • Reducir: 7X = 14
    • Despejar:



Resolución de problemas


 

Para resolver un problema mediante una ecuación, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resolver la ecuación planteada.
Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan.
Una vez resuelta la ecuación da la solución al problema.
La edad de un padre es triple de la de su hijo, entre los dos suman 72 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Edad del hijo: x años
Edad del padre: 3 x años
3x + x =72
Se resuelve: 4 x = 72, X=
El hijo tiene 18 y el padre 54 años.


 

solución general de ecuaciones de primer grado.


 


En el caso general podemos 
encontrar paréntesis y denominadores.

Debemos primero trabajar con ellos.

Teniendo en cuenta los apartados 
anteriores seguiremos los siguientes pasos:



 

Quitar paréntesis.


Quitar denominadores.


Agrupar los monomios que llevan la incógnita en un miembro y los términos independientes en el otro.

Despejar la incógnita.


 

Ejemplo
Al sumar el triple de un número con la mitad de dicho número se obtiene 126.¿De qué número se trata?

1º x : número buscado
2º Escribimos la ecuación que verifica:
3º Resolvemos la ecuación:
X + 6X = 252
X=
4º El numero buscado es 36
5º Su triple es 108. Su mitad es 18 .
Al sumarlas de 126

El último paso, la comprobación, es muy 
importante para verificar que hemos resuelto bien el ejercicio.


Ejemplo

140+20X =7X + 10
-7X +20X = -140 +10
13X = -130
X=-10
pasos.
Ejemplo
Sea la ecuación siguiente, resuélvela explicitando paso a paso.
Nuestro primer paso es quitar paréntesis, recordamos que el número delante del paréntesis, el 2, multiplica a todo el interior de éste.


 
Ahora debemos quitar denominadores los denominadores, de esta forma los hacemos iguales a través de fracciones equivalentes.


 
Una vez que tenemos los denominadores iguales, los podemos quitar para quedarnos sólo con los numeradores, ya que si los denominadores son iguales, entonces los numeradores deben ser iguales. Ten cuidado con los signos delante de la fracción, mira que le ha pasado al término:
se convierte en -2X +6


 
Queda:
5 – 2X + 6 = 14X + 4


 
Agrupamos los monomios a un lado y los números al otro.
-14X – 2X = -5 + 4 – 6
-16X = -7
Despejamos la x o incógnita.


jercicios para practicar
Resuelve las siguientes ecuaciones
  1. La suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. ¿Cuáles son los números?

  2. Encuentra dos números consecutivos que sumen 71

  1. Encuentra un número tal que sumado con su triple sea igual a 100

  1. ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12años tendré el triple de la edad que tenía hace 8 años? 

  1. Juan tiene 12 años menos que María, dentro de 4 años María tendrá el triple de la edad de Juan ¿cuántos años tienen ahora? 

  1. A una fiesta asisten 43 personas. Si se marchasen 3 chicos, habría el triple de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay? 

  1. La diagonal de un rectángulo mide 10cm. Halla sus dimensiones si un lado mide 2 cm menos que el otro.

  1. Encuentra dos números positivos que se diferencien en 7 unidades sabiendo que su producto es 44. 

  1. Encuentra dos números cuya suma sea 10 y su producto 24 

  1. Un campo de fútbol mide 30 m más de largo que de ancho y su área es de 7000 , halla sus dimensiones. 

  1. Tenemos un alambre de 17 cm. ¿Cómo hemos de doblarlo para que forme un ángulo recto de modo que sus extremos queden a 13 cm? 

  1. La diagonal de un rectángulo tiene 10 cm. Calcula sus dimensiones si el lado pequeño mide ¾ del lado grande. 

  1. Reparte el número 20 en dos partes de forma que la suma de sus cuadrados sea 202. 

  1. Encuentra dos números positivos sabiendo que se diferencian en 7 unidades y su producto es 60. 

  1. Un triángulo rectángulo tiene de perímetro 24 metros, y la longitud de un cateto es igual a ¾ del otro. Halla sus lados. 

  1. Encuentra dos números sabiendo que suma 18 unidades y su producto es 77. 
  2. Pablo es 4 años más joven que su hermana María y 2 años mayor que su hermano Federico. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 59 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 
  3. Lorenzo gasta la mitad de su dinero en un videojuego, y la séptima parte en ir al cine. ¿Cuánto dinero tenía si aún le quedan 15 $? 
  4. Hallar los lados de un rectángulo de 27 cm de perímetro si la base es 2/7 de la altura. 
  5. Paloma, Pablo y Andrés reciben 1638 € como pago por un trabajo que han realizado. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Andrés y Paloma el triple que Pablo, ¿cómo harán el reparto del dinero?  
  6. La edad de Federico es triple de la de María y la de Pablo es la tercera parte de la de María. La suma de las edades de Federico y Pablo es 80 años. Averiguar las edades de los tres. 
  7. La suma de las edades de dos amigos es 44. Sabemos que uno de ellos es 2 años mayor que el otro. Averiguar la edad de cada uno.  
  8. Dentro de 10 años Juan duplicará la edad que tenía hace 4 años. ¿Cuál es su edad actual? 
  9. Si a la tercera parte de un número le sumamos su quinta parte y además le añadimos 14, obtenemos dicho número. ¿De qué número se trata? 
  10. El precio de 2 yogures griegos y 4 yogures de coco es 3 $. El yogur griego vale 30 céntimos más que el de coco. Calcular el precio de cada uno. 
  11. Tres hermanos se reparten 96 $ de la siguiente manera: El mediano recibe12 $ menos que el mayor. Y el pequeño recibe la tercera parte que el mediano. ¿Cuánto recibe cada uno? 
  12. Paloma, Pablo y Andrés comparten la propiedad de un terreno de 1638 Ha. Pablo tiene el doble de terreno que Andrés y Paloma el triple que Pablo. ¿Qué superficie de terreno tiene cada uno? 
  13. Hemos recorrido la tercera parte de un camino y aún nos quedan 2 Km para llegar a la mitad. ¿Qué longitud tiene el camino? 
  14. La suma de tres números consecutivos excede en 10 unidades al doble del mayor de los tres. ¿Cuáles son esos números?

Ecuaciones de segundo grado


 
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: , siendo a, b y c números reales y a≠0.

• Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c.
• Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa.
• Si b=0 ó c=0 la ecuación es incompleta.


Ecuación de segundo grado completa:

A=3; b=4; c=2

Ecuación de segundo grado incompleto:

A=3; b=0; C=2


Resolución de
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo
Tiene dos soluciones: =0 y =-b/a
Se resuelve sacando factor común a la x e igualando los dos factores a cero.


x(3x + 9)=0
¡)x=0
ii)3x + 9=0 →x=3


 
esolución de
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo a+c=0, puede no tener solución ó tener dos soluciones distintas de la forma
Resolución de
La ecuación de segundo grado completa es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma a+bx+c=0, siendo a, b y c números reales y a≠0
Para obtener las soluciones utilizamos la fórmula:



DISCRIMINANTE
Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado , a la expresión:


 
Si hay dos raíces reales distintas.
Si hay dos raíces reales iguales
Si no hay raíces reales.


  1. Δ = = =) = 49
  2. Tiene dos raíces reales distintas

  3. Δ = = =
  4. No tiene raíces reales

  5. Δ = = =
  6. Tiene dos raíces reales iguales


 
Ejercicios para practicar
Resuelve las siguientes ecuaciones
  1. la edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno? 
  2. La raíz cuadrada de la edad que tendrá un niño dentro de 3 años es igual a la que tuvo hace 3 años. ¿Cuál es su edad actual?
     
  3. Cuando dos bombas actúan a la vez, tardan en agotar un pozo 15 horas. Si actuara sólo la menor, tardaría en agotarlo 16 horas más que si actuara sólo la mayor. ¿Cuánto tardaría ésta? 
  4. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
     
  5. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
     
  6. Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
     
  7. Un delincuente desinfla todas las llantas de todos los automóviles y motocicletas estacionados en una calle. La policía lo arresta y nota que se dañaron 44 vehículos y 144 llantas. ¿Cuántas motocicletas había? 
  8. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.
     
  9. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.
     
  10. Dos cuerdas se cortan en un círculo. Una mide 30 cm, la otra mide 50 cm y pasa por el punto medio de la primera. ¿Cuáles son las medidas de los segmentos en que ha quedado dividida la segunda cuerda? 
  11. Una sala de clases está distribuida por filas. El número de alumnos de fel número de filas. ¿Cuántas filas y cuántos alumnos por fila hay, si en total los alumnos son 40?
     
  12. Una persona compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró?
     
  13. Un deportista caminó 30 krn en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 1 km más por hora habría tardado 1 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántos kilómetros por hora recorrió? 
  14. El segundo curso de un colegio tiene 3 alumnos más que el tercero, y el primero 6 alumnos más que el segundo. En una colecta de caridad cada alumno del mismo curso da la misma suma, pero cada alumno del tercer curso da tanto como cada alumno del segundo y del primero juntos. El tercer curso juntó 10 UF, el segundo 6,9 UF y el primero 5,8 UF. ¿Cuántos alumnos tiene cada curso?
     
  15. Alguien regala US$ 525 para repartirlos entre los niños del nivel cuarto básico de una escuela. Como 25 niños estaban ausentes, cada uno de los niños presentes obtuvo US 0,50 más. ¿De cuántos niños se componía el nivel cuarto?
Sistemas de ecuaciones
Lineales


 

Ecuación lineal con dos incógnitas
 

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo: ax+by=c, donde x e y son las incógnitas, y a, b y c son números conocidos
 

Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de valores () que hacen cierta la igualdad.
 

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si las representamos forman una recta
 

3x + y = 12
Coeficiente de x= 3, Coeficiente de y= 1; Término independiente =12


 

Una solución de la ecuación es: x=1 y y=12
Observa que 3·(1)+9=12
Para obtener más soluciones se da a x el valor que queramos y se calcula la y.
x= 0 → y = 12 − 3·0 = 12
x= 1 → y = 12 − 3·1 = 9
x= 2 → y = 12 − 3·2 = 6
x= 3 → y = 12 − 3·3 = 3
Si representamos los puntos en un sistema de ejes coordenados forman una recta:



(1,9)

(2,6)
(3,3)

Sistemas de ecuaciones lineales



 

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común.

, , , , ,
son números reales. 

Tipos de sistemas 

Para resolver un sistema de ecuaciones utilizamos cualquiera de los tres métodos siguientes:

 

Método de sustitución


 Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita; hallada ésta se calcula la otra.

 

Método de igualación

 

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita.

 

Método de reducción



Consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplica una de las ecuaciones o ambas por un número de modo que los coeficientes de x o de y sean iguales y de signo contrario.

 Resolver:

 
3x + 4y = −7
x − 2y = 1


 Por SUSTITUCIÓN
Despejamos x en la 2º ecuación y sustituimos en la 1º: x=1+2y


 3(1+2y)+4y=-7
3+6y+4y=-7 10y=-10
y=-1
Calcular x reemplazando y: y=-1
x=1+2· (-1)=-1


 Por IGUALACIÓN
Despejamos x en ambas ecuaciones e igualamos:


 
= 1 + 2y

 
-4y-7=3(1+2y)
-4y-6y=3+7 -10y=10
y=-1
x=-1

 
Por REDUCCIÓN

 
3x+4y=-7
Multiplicamos por 2 → 2x–4y=2
Sumando: 5x=-5
Luego: x=-1


 
Y sustituyendo x= -1 a cualquier ecuación tendremos y:
(-1) − 2y = 1
-2y=1 + 1
-2y=2
Y= -1


   

Ejercicios para practicar
Resuelve las siguientes ecuaciones con el método de sustitución


 

  1. Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 20 $. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 15 $. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas? 
  2. Para pagar un artículo que costaba 300, he utilizado nueve monedas (9), unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado? 
  3. En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5. ¿Cuántos aciertos y cuántos errores he tenido? 
  4. En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?
     
  5. Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%? 
  6. ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura? 
  7. Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?


     Resuelve las siguientes ecuaciones con el método de igualación
  1. Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno? 
  2. En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? 
  3. La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número? 
  4. Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo? 
  5. Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27. 
  6. En un concesionario venden autos y motos. En total hay 14 vehículos y 36 ruedas. ¿Cuántos vehículos de cada clase hay? 
  7. María fue a la verdulería y compró papas y manzanas. Las papas cuestan $0,40 el kg y las manzanas cuestan $1,20 el kg. Si gastó $3 y traía 4,5 kg, ¿cuántos kg de papas y cuántos de manzanas compró?

    Resuelve las siguientes ecuaciones con el método de reducción
  8. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y las otras 2 horas.
  9. Después, llenan otro depósito de 27 m3 corriendo el uno 4 horas y las otras 3 horas. ¿Cuántos litros vierten por hora cada grifo? 
  10. Hace 5 años Carmen tenía el triple de edad que Estrella, y dentro de 5 años sólo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada una?
     
  11. La suma de las edades de tres personas es de 112 años. La mediana tiene 8 años más que la joven y la mayor tiene tantos como las otras dos juntas. ¿Qué edad tiene cada una?

     Un depósito está provisto de tres grifos. Funcionando el primero y el segundo, lo llenan en 1 hora y 10 minutos; funcionando el primero y el tercero, lo llenan en 1 hora y 24 minutos; y funcionando el segundo y el tercero, lo llenan en 2 horas y 20 minutos. ¿En cuánto tiempo lo llenará cada grifo funcionando solo?
  12. Dos amigos hacen un gasto de 20'88 euros, y pagan dando todo el dinero que lleva el primero y los 2/5 de lo que lleva el segundo. También podrían pagar dando todo lo que lleva el segundo y la mitad de lo que lleva el primero. ¿Cuánto dinero lleva cada uno?
  13. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de 5'30 euros. Las monedas son de 20 y de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?

  1. En una familia, el hijo mayor tiene tantas hermanas como hermanos, y la hija mayor tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y hermanas son?


 

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